Una de las formas más comunes de estimar el riesgo es el uso de una simulación de Monte Carlo (MCS). Por ejemplo, para calcular el valor en riesgo (VaR) de una cartera, podemos ejecutar una simulación de Monte Carlo que intente predecir la peor pérdida probable para una cartera dado un intervalo de confianza en un horizonte de tiempo específico (siempre necesitamos especificar dos condiciones para el VaR: confianza y horizonte).
En este artículo, revisaremos un MCS básico aplicado al precio de una acción utilizando uno de los modelos más comunes en finanzas: el movimiento browniano geométrico (GBM). Por lo tanto, si bien la simulación de Monte Carlo puede referirse a un universo de diferentes enfoques de simulación, comenzaremos aquí con el más básico.
Donde empezar
Una simulación de Monte Carlo es un intento de predecir el futuro muchas veces. Al final de la simulación, miles o millones de «ensayos aleatorios» producen una distribución de resultados que pueden analizarse. Los pasos básicos son los siguientes:
1. Especifique un modelo (por ejemplo, GBM)
Para este artículo, usaremos el movimiento browniano geométrico (GBM), que técnicamente es un proceso de Markov. Esto significa que el precio de las acciones sigue un recorrido aleatorio y es consistente con (como mínimo) la forma débil de la hipótesis del mercado eficiente (EMH): la información del precio anterior ya está incorporada y el siguiente movimiento del precio es «condicionalmente independiente» del anterior. movimientos de precios.
La fórmula para GBM se encuentra a continuación:
Δ
S
S
=
μ
Δ
t
+
σ
ϵ
Δ
t
donde:
S
=
el precio de las acciones
Δ
S
=
el cambio en el precio de las acciones
μ
=
el retorno esperado
σ
=
la desviación estándar de los rendimientos
ϵ
=
la variable aleatoria
Δ
t
=
el período de tiempo transcurrido
begin {alineado} & frac { Delta S} {S} = mu Delta t + sigma epsilon sqrt { Delta t} \ & textbf {donde:} \ & S = text {el precio de las acciones} \ & Delta S = text {el cambio en el precio de las acciones} \ & mu = text {el rendimiento esperado} \ & sigma = text {la desviación estándar de devuelve} \ & epsilon = text {la variable aleatoria} \ & Delta t = text {el período de tiempo transcurrido} end {alineado} SΔS = μΔt + σϵΔtdonde:S=el precio de las accionesΔS=el cambio en el precio de las accionesμ=el retorno esperadoσ=la desviación estándar de los rendimientosϵ=la variable aleatoriaΔt=el período de tiempo transcurrido
Si reorganizamos la fórmula para resolver solo el cambio en el precio de las acciones, vemos que GBM dice que el cambio en el precio de las acciones es el precio de las acciones «S» multiplicado por los dos términos que se encuentran dentro del paréntesis a continuación:
Δ
S
=
S
×
(
μ
Δ
t
+
σ
ϵ
Δ
t
)
Delta S = S times ( mu Delta t + sigma epsilon sqrt { Delta t}) ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)
El primer término es una «deriva» y el segundo término es un «shock». Para cada período de tiempo, nuestro modelo asume que el precio se «desviará» hacia arriba por el rendimiento esperado. Pero la deriva será conmocionada (sumada o restada) por una conmoción aleatoria. El choque aleatorio será la desviación estándar «s» multiplicada por un número aleatorio «e». Esta es simplemente una forma de escalar la desviación estándar.
Esa es la esencia de GBM, como se ilustra en la Figura 1. El precio de las acciones sigue una serie de pasos, donde cada paso es una desviación más o menos un choque aleatorio (en sí mismo una función de la desviación estándar de la acción):
Figura 1
2. Generar pruebas aleatorias
Armados con una especificación del modelo, procedemos a realizar ensayos aleatorios. Para ilustrar, hemos utilizado Microsoft Excel para ejecutar 40 pruebas. Tenga en cuenta que esta es una muestra poco realista; la mayoría de las simulaciones o «sims» ejecutan al menos varios miles de ensayos.
En este caso, supongamos que la acción comienza el día cero con un precio de $ 10. Aquí hay un gráfico del resultado donde cada paso de tiempo (o intervalo) es un día y la serie se ejecuta durante diez días (en resumen: cuarenta ensayos con pasos diarios durante diez días):
Figura 2: Movimiento browniano geométrico
El resultado son cuarenta precios de acciones simulados al final de 10 días. Ninguno ha caído por debajo de $ 9 y uno está por encima de $ 11.
3. Procesar la salida
La simulación produjo una distribución de resultados futuros hipotéticos. Podríamos hacer varias cosas con la salida.
Si, por ejemplo, queremos estimar el VaR con un 95% de confianza, solo necesitamos ubicar el resultado clasificado en el trigésimo octavo (el tercer peor resultado). Esto se debe a que 2/40 equivale al 5%, por lo que los dos peores resultados se encuentran en el 5% más bajo.
Si apilamos los resultados ilustrados en contenedores (cada contenedor es un tercio de $ 1, por lo que tres contenedores cubren el intervalo de $ 9 a $ 10), obtendremos el siguiente histograma:
Recuerde que nuestro modelo GBM asume la normalidad; los rendimientos de los precios se distribuyen normalmente con el rendimiento esperado (medio) «m» y la desviación estándar «s». Curiosamente, nuestro histograma no parece normal. De hecho, con más ensayos, no tenderá a la normalidad. En cambio, tenderá a una distribución logarítmica normal: una caída brusca a la izquierda de la media y una «cola larga» muy sesgada a la derecha de la media.
Esto a menudo conduce a una dinámica potencialmente confusa para los estudiantes primerizos:
- Precio devoluciones se distribuyen normalmente.
- Precio niveles se distribuyen lognormalmente.
Piénselo de esta manera: una acción puede subir o bajar un 5% o un 10%, pero después de un cierto período de tiempo, el precio de la acción no puede ser negativo. Además, los aumentos de precios al alza tienen un efecto compuesto, mientras que las disminuciones de precios a la baja reducen la base: pierde un 10% y te quedas con menos para perder la próxima vez.
Aquí hay un gráfico de la distribución logarítmica normal superpuesta a nuestras suposiciones ilustradas (por ejemplo, precio inicial de $ 10):
La línea de fondo
Una simulación de Monte Carlo aplica un modelo seleccionado (que especifica el comportamiento de un instrumento) a un gran conjunto de ensayos aleatorios en un intento de producir un conjunto plausible de posibles resultados futuros. Con respecto a la simulación de precios de acciones, el modelo más común es el movimiento browniano geométrico (GBM). GBM asume que una deriva constante va acompañada de choques aleatorios. Si bien los rendimientos del período en GBM se distribuyen normalmente, los niveles de precios de períodos múltiples (por ejemplo, diez días) subsiguientes se distribuyen de manera logarítmica normal.
